Taille d'échantillon pour un sondage

La variance d'une Bernoulli vaut $p(1-p)⩽\frac{1}{4}$, donc $\sigma ⩽\frac{1}{2}$. Par le théorème limite central, la demi-largeur est $1,96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}⩽\frac{0,98}{\sqrt{n}}$. On veut

$$\frac{0,98}{\sqrt{n}}⩽0,03⟺\sqrt{n}⩾32,67⟺n⩾1068.$$

Il faut environ $1100$ personnes — c'est exactement la taille des sondages publiés, et l'on comprend pourquoi ce nombre revient toujours.

Le prix de la précision. Pour descendre à $\pm 1$ point, il faudrait $n⩾9604$ : neuf fois plus de monde pour trois fois moins d'erreur. C'est le $\sqrt{n}$ qui l'impose.