Un estimateur sans biais

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Estimation ponctuelle

Énoncé

Soit $(X_{1}, \dots, X_{n})$ un $n$ -échantillon de $X$ , d'espérance $m$ inconnue. Montrer que $T_{n} = X_{n}$ est sans biais, et que $T_{n}^{'} = \frac{X _{1} + X _{2}}{2}$ l'est aussi. Lequel préférer ?

Corrigé

Sans biais. $E (X_{n}) = \frac{nm}{n} = m$ et $E (T_{n}^{'}) = \frac{m + m}{2} = m$ . Les deux estimateurs sont sans biais.

Variances. $V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ et $V (T_{n}^{'}) = \frac{2 σ ^{2}}{4} = \frac{σ ^{2}}{2}$ .

Lequel préférer. $X_{n}$ , dès que $n > 2$ : sa variance est plus petite, donc ses estimations sont plus concentrées autour de $m$ .

La leçon. « Sans biais » ne suffit pas à départager deux estimateurs : c'est la variance qui décide, et $T_{n}^{'}$ gaspille les $n - 2$ observations qu'il ignore.

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