Un intervalle de confiance

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Estimer un paramètre

Énoncé

Sur un échantillon de $n = 400$ mesures indépendantes, on observe $x = 12$ ; l'écart-type est connu, $σ = 4$ . Donner l'intervalle de confiance asymptotique de $m$ au niveau $95 %$ . On donne $t_{0, 05} = 1, 96$ .

Corrigé

La formule employée. L'intervalle asymptotique issu du théorème limite central s'écrit $[x - t_{α} \frac{σ}{n}; x + t_{α} \frac{σ}{n}],$ où $t_{α}$ est le quantile d'ordre $1 - \frac{α}{2}$ de $N (0, 1)$ ; pour $α = 0, 05$ , $t_{α} = 1, 96$ .

L'erreur type. $\frac{σ}{n} = \frac{4}{400} = \frac{4}{20} = 0, 2.$

La demi-largeur. $1, 96 \times 0, 2 = 0, 392.$

L'intervalle. $I = [12 - 0, 392; 12 + 0, 392] = [11, 608; 12, 392] .$

Comment le lire. Ce n'est pas « $m$ a $95 %$ de chances d'être dans $I$ » : $m$ est un nombre fixe et inconnu, il y est ou il n'y est pas. Ce sont les bornes qui sont aléatoires, puisqu'elles dépendent de l'échantillon tiré. La phrase juste est : le procédé qui a produit cet intervalle en produit, sur un grand nombre d'échantillons, environ $95 %$ qui contiennent $m$ .

Un ordre de grandeur. Quadrupler l'échantillon ( $n = 1600$ ) diviserait la demi-largeur par $2$ , la ramenant à $0, 196$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.