Un sondage qui tranche, un autre qui ne tranche pas

La fréquence observée. $f=\frac{540}{1200}=0,45$.

L'intervalle asymptotique. Le théorème limite central donne la demi-largeur $t_{\alpha }\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}$ avec $t_{\alpha }=1,96$ :

$$1,96\times \sqrt{\frac{0,45\times 0,55}{1200}}=1,96\times 0,01436\approx 0,0281,$$

d'où l'intervalle $[0,4219;0,4781]$.

L'intervalle de Bienaymé-Tchebychev. Avec ${\sigma }^2=p(1-p)⩽\frac{1}{4}$, donc $\sigma ⩽\frac{1}{2}$, la demi-largeur $\frac{\sigma }{\sqrt{n\alpha }}$ se majore par

$$\frac{1}{2\sqrt{1200\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{60}}\approx 0,0645,$$

d'où $[0,385;0,515]$. Il est $2,3$ fois plus large.

Lequel tranche. Le premier est entièrement en dessous de $0,5$ : au niveau $95\%$, la mesure est minoritaire. Le second contient $0,5$ : il ne permet aucune conclusion.

Le point à retenir. Les deux intervalles sont honnêtes — Tchebychev garantit au moins $95\%$, l'asymptotique environ $95\%$. Mais quand la réponse se joue sur un seuil, la largeur supplémentaire de Tchebychev coûte exactement la conclusion. C'est le prix de ne rien supposer sur la loi.