Une approximation de Poisson

La loi exacte. Chaque pièce est défectueuse ou non, avec la même probabilité $0,001$, indépendamment des autres : on répète $1000$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc $$X\hookrightarrow \mathcal{B}(1000;0,001).$$

L'approximation. Le théorème « de la binomiale à Poisson » s'applique quand $n$ est grand et $p$ petit. Ici $n=1000$ et $p=0,001$, avec $$\lambda =np=1000\times 0,001=1,$$ valeur modérée. On approche donc la loi de $X$ par $\mathcal{P}(1)$.

Les deux probabilités. Pour $\mathcal{P}(1)$ : $$P([X=0])\approx {\mathrm{e}}^{-1}\frac{1^0}{0!}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368,$$ $$P([X=1])\approx {\mathrm{e}}^{-1}\frac{1^1}{1!}={\mathrm{e}}^{-1},$$ donc, ces deux événements étant incompatibles, $$P([X⩽1])\approx 2{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,736.$$

Lecture. Près de trois lots sur quatre contiennent au plus une pièce défectueuse, et un peu plus d'un sur trois n'en contient aucune. L'intérêt de l'approximation est de remplacer des coefficients binomiaux à quatre chiffres — ici $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{1}\right)$ et une puissance $0,999^{999}$ — par deux exponentielles.