Une approximation de Poisson

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Les approximations usuelles

Énoncé

Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité $0, 001$ , indépendamment des autres. Sur un lot de $1000$ pièces, soit $X$ le nombre de pièces défectueuses. Donner la loi exacte de $X$ , l'approcher par une loi de Poisson, et estimer $P ([X = 0])$ puis $P ([X ⩽ 1])$ .

Corrigé

La loi exacte. Chaque pièce est défectueuse ou non, avec la même probabilité $0, 001$ , indépendamment des autres : on répète $1000$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc $X ↪ B (1000; 0, 001) .$

L'approximation. Le théorème « de la binomiale à Poisson » s'applique quand $n$ est grand et $p$ petit. Ici $n = 1000$ et $p = 0, 001$ , avec $λ = n p = 1000 \times 0, 001 = 1,$ valeur modérée. On approche donc la loi de $X$ par $P (1)$ .

Les deux probabilités. Pour $P (1)$ : $P ([X = 0]) \approx e^{- 1} \frac{1 ^{0}}{0 !} = e^{- 1} \approx 0, 368,$ $P ([X = 1]) \approx e^{- 1} \frac{1 ^{1}}{1 !} = e^{- 1},$ donc, ces deux événements étant incompatibles, $P ([X ⩽ 1]) \approx 2 e^{- 1} \approx 0, 736.$

Lecture. Près de trois lots sur quatre contiennent au plus une pièce défectueuse, et un peu plus d'un sur trois n'en contient aucune. L'intérêt de l'approximation est de remplacer des coefficients binomiaux à quatre chiffres — ici $(1 1000)$ et une puissance $0, 99 9^{999}$ — par deux exponentielles.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.