Une approximation normale

Les moments. Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ : $$E(X)=np=100\times 0,5=50,V(X)=np(1-p)=100\times 0,5\times 0,5=25.$$ L'écart-type vaut donc $$\sigma =\sqrt{25}=5.$$

Pourquoi la loi normale. $X$ est la somme de $100$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre. Le théorème limite central s'applique, et $n$ est grand tandis que $p=0,5$ n'est pas petit : c'est le cas normal, et non le cas de Poisson.

Le centrage-réduction. La variable $X^{\ast }=\frac{X-50}{5}$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$, donc $$P([X⩽60])\approx P\left(\left[X^{\ast }⩽\frac{60-50}{5}\right]\right)=P([X^{\ast }⩽2])=\Phi (2)=0,9772.$$

Lecture. Sur $100$ lancers d'une pièce équilibrée, obtenir au plus $60$ « pile » arrive dans environ $97,7\%$ des cas : dépasser $60$ est rare, sans être exceptionnel.

Le point de vigilance. On divise par l'écart-type $5$, jamais par la variance $25$. Avec $25$ on aurait trouvé $\Phi (0,4)$, soit environ $0,655$ — une réponse fausse mais qui ne « choque » pas, et c'est ce qui la rend dangereuse.