Une estimation ponctuelle

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Estimer un paramètre

Énoncé

On observe le $5$ -échantillon $12$ , $15$ , $11$ , $14$ , $13$ d'une variable $X$ d'espérance $m$ inconnue. Donner l'estimation de $m$ par la moyenne empirique, et rappeler pourquoi cet estimateur est sans biais.

Corrigé

L'estimation. L'estimateur est la variable $X_{5} = \frac{X _{1} + \dots + X _{5}}{5}$ ; l'estimation est sa réalisation sur l'échantillon observé : $x = \frac{12 + 15 + 11 + 14 + 13}{5} = \frac{65}{5} = 13.$ On estime donc $m$ par $13$ .

Pourquoi l'estimateur est sans biais. Les $X_{i}$ ont toutes la même loi que $X$ , donc la même espérance $m$ . Par linéarité de l'espérance — qui ne demande aucune hypothèse d'indépendance : $E (X_{5}) = \frac{1}{5} i = 1 \sum 5 E (X_{i}) = \frac{5 m}{5} = m .$ L'estimateur est donc sans biais : en moyenne sur tous les échantillons possibles, il vise juste.

La distinction à tenir. L'estimateur $X_{5}$ est une variable aléatoire ; l'estimation $13$ est un nombre, obtenu sur un échantillon particulier. Rien ne garantit que $m$ vaille $13$ — un autre échantillon aurait donné un autre nombre. C'est ce que l'intervalle de confiance quantifiera.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.