Une estimation ponctuelle

L'estimation. L'estimateur est la variable $\overline{X_5}=\frac{X_1+\cdots +X_5}{5}$ ; l'estimation est sa réalisation sur l'échantillon observé : $$\overline{x}=\frac{12+15+11+14+13}{5}=\frac{65}{5}=13.$$ On estime donc $m$ par $13$.

Pourquoi l'estimateur est sans biais. Les $X_i$ ont toutes la même loi que $X$, donc la même espérance $m$. Par linéarité de l'espérance — qui ne demande aucune hypothèse d'indépendance : $$E\left(\overline{X_5}\right)=\frac{1}{5}\sum _{i=1}^{5}E(X_i)=\frac{5m}{5}=m.$$ L'estimateur est donc sans biais : en moyenne sur tous les échantillons possibles, il vise juste.

La distinction à tenir. L'estimateur $\overline{X_5}$ est une variable aléatoire ; l'estimation $13$ est un nombre, obtenu sur un échantillon particulier. Rien ne garantit que $m$ vaille $13$ — un autre échantillon aurait donné un autre nombre. C'est ce que l'intervalle de confiance quantifiera.