Une inégalité qu'on ne peut pas resserrer

Ce qu'on emploie. Le calcul direct des moments d'une variable à trois valeurs, puis la comparaison avec le majorant de Bienaymé-Tchebychev.

Contrôle préalable. Les trois probabilités somment à $\frac{p}{2}+\frac{p}{2}+(1-p)=1$, et sont toutes strictement positives puisque $p\in ]0,1[$. La loi est bien définie.

L'espérance. $$E(X)=\epsilon \times \frac{p}{2}+(-\epsilon )\times \frac{p}{2}+0\times (1-p)=0.$$ Les deux valeurs opposées se compensent : la variable est centrée.

La variance. Comme $E(X)=0$, la formule de Koenig-Huygens se réduit à $V(X)=E(X^2)$. Or $X^2$ vaut ${\epsilon }^2$ avec la probabilité $\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p$, et $0$ sinon. Donc $$V(X)={\epsilon }^{2}p.$$

La probabilité. Comme $E(X)=0$, l'événement $[|X-E(X)|⩾\epsilon ]$ est $[|X|⩾\epsilon ]$, c'est-à-dire la réunion des deux événements incompatibles $[X=\epsilon ]$ et $[X=-\epsilon ]$ : $$P\left(\right[|X-E(X)|⩾\epsilon \left]\right)=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p.$$

La comparaison. Le majorant fourni par Bienaymé-Tchebychev vaut $$\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}=\frac{{\epsilon }^{2}p}{{\epsilon }^2}=p.$$ Il est atteint : l'inégalité est ici une égalité.

Conclusion. Aucune constante $c<1$ ne peut rendre vraie l'inégalité $P(|X-E(X)|⩾\epsilon )⩽c\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}$ pour toutes les variables aléatoires : la famille ci-dessus la mettrait aussitôt en défaut. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est donc optimale dans sa généralité — ce qui n'empêche pas qu'elle soit très grossière pour une loi particulière, comme la loi normale, où elle majore par $0,25$ une probabilité qui vaut $0,0455$. C'est le prix de ne rien supposer.