Une loi discrète qui converge vers une loi à densité

Ce qu'on emploie. La définition de la convergence en loi : il faut montrer que $F_{X_n}(x)\to F(x)$ en tout réel $x$ où la fonction de répartition limite $F$ est continue. Ici $F$ est celle de $\mathcal{U}[0,1]$, continue sur $\mathbb{R}$ tout entier — il faudra donc la convergence en tout point.

La fonction de répartition limite. Pour $\mathcal{U}[0,1]$ : $$F(x)=0(x<0),F(x)=x(0⩽x⩽1),F(x)=1(x>1).$$

Les cas faciles. Si $x<0$, aucune valeur de $X_n$ n'est inférieure à $x$ (elles sont toutes strictement positives), donc $F_{X_n}(x)=0=F(x)$. Si $x⩾1$, toutes les valeurs de $X_n$ sont inférieures ou égales à $1$, donc $F_{X_n}(x)=1=F(x)$. Dans les deux cas la suite est constante et converge trivialement.

Le cas central. Soit $x\in [0,1[$. Les valeurs de $X_n$ sont les $\frac{k}{n}$ pour $k$ allant de $1$ à $n$, chacune de probabilité $\frac{1}{n}$. On a $\frac{k}{n}⩽x$ si et seulement si $k⩽nx$, c'est-à-dire $k⩽\lfloor nx\rfloor$. Le nombre de tels $k$ dans $\{1,\dots ,n\}$ est donc $\lfloor nx\rfloor$, et $$F_{X_n}(x)=\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}.$$

L'encadrement. Par définition de la partie entière, $$nx-1<\lfloor nx\rfloor ⩽nx,$$ donc en divisant par $n>0$ : $$x-\frac{1}{n}<F_{X_n}(x)⩽x.$$ Les deux membres extrêmes tendent vers $x$, donc par encadrement $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{F}_{X_n}(x)=x=F(x).$$

Conclusion. En tout réel $x$, $F_{X_n}(x)$ tend vers $F(x)$ : $$X_n\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{U}[0,1].$$

Ce que cet exemple montre. Une suite de variables discrètes — chacune ne prend que $n$ valeurs — peut converger en loi vers une variable à densité. La convergence en loi ne porte que sur les fonctions de répartition ; elle ne transporte ni la nature de la loi, ni les valeurs prises.