Une majoration par Bienaymé-Tchebychev

Ce qu'on emploie. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet un moment d'ordre $2$, alors pour tout $\epsilon >0$, $$P\left(\right[|X-E(X)|⩾\epsilon \left]\right)⩽\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}.$$

L'identification. L'énoncé donne $E(X)=50$, ce qui est bien le nombre qui figure dans la valeur absolue, et $V(X)=25$. On prend $\epsilon =10>0$.

Le calcul. $$P([|X-50|⩾10])⩽\frac{25}{10^2}=\frac{25}{100}=0,25.$$

Ce qu'on en déduit par complémentaire. L'événement contraire est $[|X-50|<10]$, c'est-à-dire $[40<X<60]$, donc $$P([40<X<60])⩾1-0,25=0,75.$$ Au moins trois quarts des valeurs sont à moins de $10$ de la moyenne — ici, $\epsilon =10$ vaut deux écarts-types, puisque $\sigma =\sqrt{25}=5$.

Le point de vigilance. Le $\epsilon$ apparaît au carré au dénominateur. Écrire $\frac{25}{10}$ donnerait $2,5$, majoration vraie mais absurde — une probabilité ne dépasse jamais $1$, et un majorant supérieur à $1$ signale toujours une erreur ou une inégalité sans intérêt.