Une majoration par Markov

Ce qu'on emploie. L'inégalité de Markov : si $X$ est positive et admet une espérance, alors pour tout $a>0$, $$P([X⩾a])⩽\frac{E(X)}{a}.$$

Les hypothèses. Un montant de sinistre est positif, et l'énoncé donne son espérance : les deux conditions sont réunies. On applique l'inégalité avec $a=30>0$.

Le calcul. $$P([X⩾30])⩽\frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0,2.$$ Au plus $20\%$ des sinistres atteignent cinq fois le coût moyen.

Ce qu'il faut noter. La majoration ne suppose rien sur la loi de $X$ — c'est sa force. Mais elle est très large : la vraie probabilité peut être beaucoup plus petite, et l'inégalité ne dit rien de plus. Elle donne aussi une règle de lecture générale : la probabilité de dépasser $k$ fois la moyenne est au plus $\frac{1}{k}$.

Ce qu'on ne peut pas faire. Sans la positivité, l'inégalité est fausse. Elle ne s'applique donc pas à une variable qui pourrait prendre des valeurs négatives — un résultat comptable, par exemple.