Une majoration qu'on ne peut pas resserrer

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 12 — Convergences, approximations et estimation · Les deux inégalités

Énoncé

Soient $a > 0$ et $p \in] 0, 1 [$ . Soit $X$ la variable qui vaut $a$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1 - p$ . Calculer $E (X)$ et $P ([X ⩾ a])$ , et en déduire que l'inégalité de Markov ne peut pas être améliorée.

Corrigé

Les deux quantités. $X$ est positive et ne prend que deux valeurs, donc

$E (X) = a \times p + 0 \times (1 - p) = p a, P ([X ⩾ a]) = P ([X = a]) = p .$

L'égalité. En divisant la première relation par $a$ , qui est non nul :

$\frac{E ( X )}{a} = p = P ([X ⩾ a]) .$

L'inégalité de Markov, qui affirme $P ([X ⩾ a]) ⩽ \frac{E ( X )}{a}$ , est donc ici une égalité.

Ce qu'on en déduit. Supposons qu'il existe une constante $c < 1$ telle que $P ([X ⩾ a]) ⩽ c \frac{E ( X )}{a}$ pour toute variable positive $X$ et tout $a > 0$ . Appliquée à la variable ci-dessus, cette majoration donnerait $p ⩽ c p$ , donc $1 ⩽ c$ après division par $p > 0$ — contradiction. Aucune constante ne peut donc être gagnée.

Le point à retenir. Une inégalité atteinte est optimale. Que Markov soit très lâche sur une loi exponentielle ou normale n'est pas un défaut de la démonstration : c'est le prix de son universalité, puisqu'elle doit couvrir aussi la loi à deux valeurs qui la sature. Pour resserrer, il faut ajouter une hypothèse — la variance, et l'on obtient Bienaymé-Tchebychev.

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