Une majoration qu'on ne peut pas resserrer

Les deux quantités. $X$ est positive et ne prend que deux valeurs, donc

$$E(X)=a\times p+0\times (1-p)=pa,P([X⩾a])=P([X=a])=p.$$

L'égalité. En divisant la première relation par $a$, qui est non nul :

$$\frac{E(X)}{a}=p=P([X⩾a]).$$

L'inégalité de Markov, qui affirme $P([X⩾a])⩽\frac{E(X)}{a}$, est donc ici une égalité.

Ce qu'on en déduit. Supposons qu'il existe une constante $c<1$ telle que $P([X⩾a])⩽c\frac{E(X)}{a}$ pour toute variable positive $X$ et tout $a>0$. Appliquée à la variable ci-dessus, cette majoration donnerait $p⩽cp$, donc $1⩽c$ après division par $p>0$ — contradiction. Aucune constante ne peut donc être gagnée.

Le point à retenir. Une inégalité atteinte est optimale. Que Markov soit très lâche sur une loi exponentielle ou normale n'est pas un défaut de la démonstration : c'est le prix de son universalité, puisqu'elle doit couvrir aussi la loi à deux valeurs qui la sature. Pour resserrer, il faut ajouter une hypothèse — la variance, et l'on obtient Bienaymé-Tchebychev.