Une somme de durées d'attente

Ce qu'on emploie. Le théorème limite central, qui s'applique à toute suite de variables indépendantes et de même loi admettant une variance non nulle — sans que cette loi ait besoin d'être discrète, ni symétrique, ni proche d'une cloche.

Les moments d'un terme. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ : $$m=E(X)=\frac{1}{1}=1,{\sigma }^2=V(X)=\frac{1}{1^2}=1.$$ La variance n'est pas nulle : l'hypothèse du théorème est vérifiée.

Les moments de la somme. Par linéarité, puis par indépendance : $$E(S)=100\times 1=100,V(S)=100\times 1=100,$$ donc l'écart-type de $S$ vaut $\sqrt{100}=10$.

La variable centrée réduite. Avec $n=100$ et $\overline{X_n}=\frac{S}{100}$, le théorème s'écrit $$X_n^{\ast }=\sqrt{100}\frac{\overline{X_n}-1}{1}=\frac{S-100}{10}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{N}(0,1).$$

Le calcul. $$P([S⩽120])=P\left(\left[\frac{S-100}{10}⩽\frac{120-100}{10}\right]\right)=P([X_{100}^{\ast }⩽2])\approx \Phi (2)=0,9772.$$

Lecture. Il y a environ $97,7\%$ de chances que la somme de cent attentes indépendantes de moyenne $1$ ne dépasse pas $120$.

Ce qui est remarquable. La loi exponentielle est fortement dissymétrique : sa densité s'effondre depuis $0$, et une seule attente n'a rien d'une cloche. Pourtant la somme de cent d'entre elles se comporte comme une loi normale. C'est précisément l'apport du théorème limite central : la forme de la loi de départ est oubliée. L'approximation reste une approximation — le programme demande d'ailleurs que les indications de validité soient fournies — mais avec $n=100$ elle est excellente.