Changement de base explicite

Passage. $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, de déterminant $-2$, donc $P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$.

Calcul. $AP=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, puis

$${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)=P^{-1}(AP)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Interprétation. $f$ échange les deux coordonnées : c'est la symétrie par rapport à la droite $y=x$. Dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, le premier vecteur $(1,1)$ porte l'axe de symétrie (il est fixe, coefficient $1$) et le second $(1,-1)$ lui est orthogonal (il est retourné, coefficient $-1$). La matrice diagonale dit la géométrie que la matrice de départ cachait.