Composer, et retrouver l'ordre

$g\circ f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, de matrice $BA$ :

$$BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 0\end{array}\right).$$

Son déterminant vaut $3\times 0-1\times 2=-2\ne 0$ : le rang est $2$, et $g\circ f$ est un automorphisme de ${\mathbb{R}}^2$.

$f\circ g:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, de matrice $AB$ :

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 3& 1\\ 0& -1& -1\end{array}\right).$$

Son rang vaut $2$ : la troisième colonne est la différence de la deuxième et de la première, $(0,1,-1)=(1,3,-1)-(1,2,0)$.

Ce qu'il faut retenir. $BA$ et $AB$ n'ont pas la même taille, et seule $BA$ est inversible. L'ordre n'est jamais une commodité d'écriture.