Des coordonnées nouvelles vers les anciennes

La matrice de passage. Ses colonnes sont les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ écrits dans la base canonique : $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right).$$

La formule. Le cours énonce $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ : la matrice de passage transforme les coordonnées nouvelles en coordonnées anciennes. Le sens surprend, mais il se justifie : $P$ contient les nouveaux vecteurs écrits à l'ancienne, la multiplier par des coordonnées nouvelles reconstitue donc l'ancienne colonne.

Le calcul. $$X_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-2\\ 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$ Donc $u=(2,1)$ dans la base canonique.

Vérification directe, sans matrice : par définition des coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$, $$u=4\cdot (1,1)-1\cdot (2,3)=(4-2,4-3)=(2,1).$$ C'est bien le même vecteur. Ce contrôle est le meilleur antidote à l'erreur de sens : si l'on avait employé $P^{-1}$ par mégarde, il l'aurait révélée immédiatement.