Deux matrices pour un même endomorphisme

La matrice dans la base canonique. $f(1,0)=(2,1)$ et $f(0,1)=(1,2)$. En rangeant ces images en colonnes, $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base. Les deux vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ ne sont pas proportionnels : si $\lambda (1,1)+\mu (1,-1)=(0,0)$, l'addition des deux coordonnées donne $2\lambda =0$, puis $\mu =0$. Famille libre de $2$ vecteurs dans un espace de dimension $2$ : c'est une base.

Les images des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$. $$f(1,1)=(2+1,1+2)=(3,3),f(1,-1)=(2-1,1-2)=(1,-1).$$

Leurs coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$. Ici la lecture est immédiate : $(3,3)=3\cdot (1,1)+0\cdot (1,-1)$, donc la colonne est ${}^t(3,0)$ ; et $(1,-1)=0\cdot (1,1)+1\cdot (1,-1)$, donc la colonne est ${}^t(0,1)$.

Conclusion. $${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Le point délicat. Une colonne de la matrice n'est pas l'image « telle quelle », mais ses coordonnées dans la base d'arrivée. Ici les deux coïncident presque par chance, parce que les images se sont trouvées être des multiples des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ ; dans un autre cas il aurait fallu résoudre un système. C'est précisément cette coïncidence qui rend la matrice diagonale : le même endomorphisme, deux écritures, et la seconde est bien plus lisible.