Deux matrices semblables ont le même rang

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Changement de base et matrices semblables

Énoncé

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_{n} (R)$ semblables, c'est-à-dire telles qu'il existe $Q$ inversible avec $B = Q^{- 1} A Q$ . Montrer que $rg (A) = rg (B)$ . En déduire que $(1111)$ et $I_{2}$ ne sont pas semblables.

Corrigé

Ce qu'on emploie. Le rang d'une matrice est le rang de la famille de ses colonnes, et le dictionnaire du cours : le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente.

Multiplier à droite par une matrice inversible ne change pas le rang. Notons $C_{1}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $A$ . Les colonnes de $A Q$ sont les $A Q_{j}$ , où $Q_{j}$ est la $j$ -ème colonne de $Q$ : chacune est une combinaison linéaire des $C_{i}$ , donc les colonnes de $A Q$ appartiennent à $Vect (C_{1}, \dots, C_{n})$ et $rg (A Q) ⩽ rg (A)$ . En appliquant ce résultat à $A Q$ et à la matrice inversible $Q^{- 1}$ : $rg (A) = rg ((A Q) Q^{- 1}) ⩽ rg (A Q) .$ Les deux inégalités donnent $rg (A Q) = rg (A)$ .

Multiplier à gauche non plus. Soit $M$ une matrice et $Q$ inversible. L'application $X \mapsto Q^{- 1} X$ est bijective de $R^{n}$ dans $R^{n}$ et linéaire ; elle transforme une famille libre en famille libre, donc les colonnes de $Q^{- 1} M$ ont le même rang que celles de $M$ : $rg (Q^{- 1} M) = rg (M)$ .

Conclusion. En combinant les deux, avec $M = A Q$ : $rg (B) = rg (Q^{- 1} A Q) = rg (A Q) = rg (A) .$

Application. $rg (I_{2}) = 2$ , puisque ses deux colonnes forment une famille libre. En revanche $(1111)$ a ses deux colonnes égales, donc un rang égal à $1$ . Les rangs diffèrent : ces deux matrices ne sont pas semblables.

Ce qu'il faut retenir. Le rang est un invariant de similitude : il ne dépend pas de la base choisie. C'est l'outil le moins coûteux pour prouver que deux matrices ne sont pas semblables — il ne prouve jamais qu'elles le sont.

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