mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice d'entraînement

Deux matrices semblables ont le même rang

Applications linéaires, matrices et changement de base · Changement de base et matrices semblables · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ semblables, c'est-à-dire telles qu'il existe $Q$ inversible avec $B=Q^{-1}AQ$. Montrer que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(B)$. En déduire que $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $I_2$ ne sont pas semblables.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.