Deux matrices semblables, ou non

Non. Pour toute matrice inversible $P$,

$$P^{-1}{I}_{2}P=P^{-1}P=I_2.$$

La seule matrice semblable à $I_2$ est donc $I_2$ elle-même, et $A\ne I_2$.

Ce que l'exercice montre. La somme des coefficients diagonaux et le rang sont des invariants de similitude : deux matrices semblables les partagent. Mais la réciproque est fausse — les partager ne suffit pas à être semblables. Un invariant sert à prouver qu'on ne l'est pas, jamais qu'on l'est.

Interprétation. $I_2$ représente l'identité, qui laisse tout vecteur en place. $A$, elle, envoie $(0,1)$ sur $(1,1)$ : elle déplace des vecteurs. Aucun changement de repère ne peut transformer une transformation qui bouge en une transformation qui ne bouge pas.