mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice
Deux matrices semblables, ou non
Applications linéaires, matrices et changement de base · Changement de base et matrices semblables · niveau 3 (difficile)
Énoncé
Les matrices et ont la même somme de coefficients diagonaux et le même rang. Sont-elles semblables ?
Corrigé
Non. Pour toute matrice inversible ,
La seule matrice semblable à est donc elle-même, et .
Ce que l'exercice montre. La somme des coefficients diagonaux et le rang sont des invariants de similitude : deux matrices semblables les partagent. Mais la réciproque est fausse — les partager ne suffit pas à être semblables. Un invariant sert à prouver qu'on ne l'est pas, jamais qu'on l'est.
Interprétation. représente l'identité, qui laisse tout vecteur en place. , elle, envoie sur : elle déplace des vecteurs. Aucun changement de repère ne peut transformer une transformation qui bouge en une transformation qui ne bouge pas.
