Écrire une matrice de passage

La matrice de passage. La règle est : les colonnes de $P$ sont les nouveaux vecteurs, écrits à l'ancienne. Les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ sont déjà donnés par leurs coordonnées canoniques, il suffit donc de les ranger en colonnes : $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right).$$

Inversibilité. Le déterminant vaut $1\times 5-3\times 2=5-6=-1$, non nul : $P$ est inversible. Cela confirme au passage que ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base de ${\mathbb{R}}^2$.

L'inverse. Pour une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de déterminant $\Delta \ne 0$, l'inverse est $\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Ici $\Delta =-1$, donc $$P^{-1}=-\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 3\\ 2& -1\end{array}\right).$$

Vérification — un produit, quatre coefficients : $$P{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& 3\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5+6& 3-3\\ -10+10& 6-5\end{array}\right)=I_2.$$ Le cours indique par ailleurs que $P^{-1}=P_{{\mathcal{B}}^{\prime },\mathcal{B}}$ : ses colonnes sont donc les vecteurs canoniques écrits dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.