Injective sans être surjective

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Linéarité, noyau et image

Énoncé

Existe-t-il une application linéaire de $R^{2}$ dans $R^{3}$ qui soit surjective ? Une application linéaire de $R^{3}$ dans $R^{2}$ qui soit injective ? Justifier.

Corrigé

$R^{2} \to R^{3}$ surjective : impossible. Le théorème du rang donne $rg (f) ⩽ dim R^{2} = 2$ . Or la surjectivité exigerait $rg (f) = dim R^{3} = 3$ . Une image ne peut pas être plus grosse que l'espace de départ.

$R^{3} \to R^{2}$ injective : impossible. Le théorème du rang donne $dim ker (f) = 3 - rg (f) ⩾ 3 - 2 = 1 > 0$ . Le noyau contient donc un vecteur non nul.

La règle générale. Une application linéaire ne peut être injective que si $dim E ⩽ dim F$ , et surjective que si $dim E ⩾ dim F$ . Les deux à la fois exigent l'égalité des dimensions — c'est le corollaire du cours.

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