Injective sans être surjective

${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ surjective : impossible. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(f)⩽\dim {\mathbb{R}}^2=2$. Or la surjectivité exigerait $\mathrm{rg}(f)=\dim {\mathbb{R}}^3=3$. Une image ne peut pas être plus grosse que l'espace de départ.

${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ injective : impossible. Le théorème du rang donne $\dim \ker (f)=3-\mathrm{rg}(f)⩾3-2=1>0$. Le noyau contient donc un vecteur non nul.

La règle générale. Une application linéaire ne peut être injective que si $\dim E⩽\dim F$, et surjective que si $\dim E⩾\dim F$. Les deux à la fois exigent l'égalité des dimensions — c'est le corollaire du cours.