L’opérateur de différence sur les polynômes

Linéarité. $(\lambda P+\mu Q)(x+1)-(\lambda P+\mu Q)(x)=\lambda (P(x+1)-P(x))+\mu (Q(x+1)-Q(x))$, et l'image reste dans ${\mathbb{R}}_3[x]$ puisque $P(x+1)-P(x)$ est de degré au plus $\mathrm{deg}P$.

La matrice. On calcule les images de la base canonique $(1,x,x^2,x^3)$ : $\Delta (1)=0$, $\Delta (x)=1$, $\Delta (x^2)=(x+1{)}^2-x^2=2x+1$, et $\Delta (x^3)=(x+1{)}^3-x^3=3x^2+3x+1$. En rangeant ces images en colonnes :

$$M=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Image. Elle est engendrée par les images de la base, donc par $1$, $2x+1$ et $3x^2+3x+1$ (la première image étant nulle). Ces trois polynômes sont non nuls et de degrés distincts $0$, $1$, $2$ : la famille est libre. Elle compte $3$ vecteurs dans ${\mathbb{R}}_2[x]$, qui est de dimension $3$ : donc $\mathrm{Im}(\Delta )={\mathbb{R}}_2[x]$ et $\mathrm{rg}(\Delta )=3$.

Noyau. Par le théorème du rang, $\dim \ker (\Delta )=4-3=1$. Or les polynômes constants vérifient $\Delta (P)=0$ et forment un sous-espace de dimension $1$ : c'est donc exactement le noyau, $\ker (\Delta )={\mathbb{R}}_0[x]$.

Le point à retenir. $\Delta$ abaisse le degré d'une unité, comme la dérivation : c'est la « dérivée discrète ». Deux polynômes ont même image si et seulement s'ils diffèrent d'une constante.