La dérivation, sa matrice et une inversion

La matrice. Les images des vecteurs de base sont $D(1)=0$, $D(x)=1$, $D(x^2)=2x$ et $D(x^3)=3x^2$. Rangées en colonnes, leurs coordonnées dans $(1,x,x^2,x^3)$ donnent $$N=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

$D^4=0$. Un polynôme de ${\mathbb{R}}_3[x]$ est de degré au plus $3$ ; chaque dérivation fait baisser le degré d'au moins une unité, donc $D^4(P)$ est de degré au plus $-1$ : c'est le polynôme nul. On le voit aussi sur la matrice, où la diagonale de coefficients non nuls se décale d'un cran vers le haut à chaque puissance et finit par sortir du tableau.

$\mathrm{id}-D$ est bijective. Posons $S=\mathrm{id}+D+D^2+D^3$, qui est encore un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[x]$ comme somme d'endomorphismes. Alors $$(\mathrm{id}-D)\circ S=\mathrm{id}+D+D^2+D^3-D-D^2-D^3-D^4=\mathrm{id}-D^4=\mathrm{id},$$ tous les termes intermédiaires se télescopant. Comme $D$ commute avec elle-même, le calcul dans l'autre ordre donne également $\mathrm{id}$. Donc $\mathrm{id}-D$ est bijective, d'application réciproque $S$ : $$(\mathrm{id}-D{)}^{-1}(Q)=Q+Q^{\prime }+Q^{\prime \prime }+Q^{\prime \prime \prime }.$$

Vérification sur $Q=x^3$ : la réciproque donne $x^3+3x^2+6x+6$, et $(\mathrm{id}-D)(x^3+3x^2+6x+6)=(x^3+3x^2+6x+6)-(3x^2+6x+6)=x^3$. C'est bien $Q$.

Ce que l'exercice illustre. L'identité $1+q+q^2+q^3=\frac{1-q^4}{1-q}$ des sommes géométriques se transporte aux endomorphismes dès que l'une des puissances s'annule — et elle fournit un inverse explicite, sans aucune inversion de matrice $4\times 4$.