La matrice d'une multiplication matricielle

Le calcul de l'image. Pour $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, $$AM=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+2c& b+2d\\ 2a+4c& 2b+4d\end{array}\right).$$

La matrice. Dans la base canonique, la colonne des coordonnées de $M$ est ${}^t(a,b,c,d)$ et celle de $\Phi (M)$ est ${}^t(a+2c,b+2d,2a+4c,2b+4d)$. La $j$-ème colonne de la matrice cherchée est l'image du $j$-ème vecteur de base : $\Phi (E_{1,1})$ a pour coordonnées ${}^t(1,0,2,0)$, $\Phi (E_{1,2})$ donne ${}^t(0,1,0,2)$, $\Phi (E_{2,1})$ donne ${}^t(2,0,4,0)$ et $\Phi (E_{2,2})$ donne ${}^t(0,2,0,4)$. D'où $$\mathrm{Mat}(\Phi )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& 0& 2\\ 2& 0& 4& 0\\ 0& 2& 0& 4\end{array}\right).$$

Le rang. Échelonnons en lignes : $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ annule la troisième ligne, $L_4\leftarrow L_4-2L_2$ annule la quatrième. Il reste deux lignes non nulles, donc $\mathrm{rg}(\Phi )=2$.

Contrôle par le noyau. $\Phi (M)=0$ équivaut à $a+2c=0$ et $b+2d=0$ (les deux autres équations en sont les doubles), donc $\dim \ker (\Phi )=2$, et le théorème du rang redonne $4-2=2$.

Ce qui explique le résultat. La deuxième ligne de $A$ est le double de la première : $A$ est elle-même de rang $1$, et cette dépendance se propage aux lignes de la matrice de $\Phi$.