La matrice de la dérivation

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Écrire une matrice, appliquer le théorème du rang

Énoncé

Soit $D : R_{2} [x] \to R_{1} [x]$ , $P \mapsto P^{'}$ . Écrire la matrice de $D$ dans les bases canoniques $(1, x, x^{2})$ et $(1, x)$ , puis en déduire $rg (D)$ et $dim ker (D)$ .

Corrigé

La taille. Départ de dimension $3$ , arrivée de dimension $2$ : la matrice est dans $M_{2, 3} (R)$ .

Les colonnes. On dérive chaque vecteur de la base de départ et l'on écrit le résultat dans la base d'arrivée $(1, x)$ : $D (1) = 0 \to^{t} (0, 0), D (x) = 1 \to^{t} (1, 0), D (x^{2}) = 2 x \to^{t} (0, 2) .$ D'où $Mat (D) = (001002) .$

Le rang. La matrice est déjà échelonnée : deux pivots (le $1$ en position $(1, 2)$ et le $2$ en position $(2, 3)$ ), donc deux lignes non nulles et $rg (D) = 2$ . L'image est $R_{1} [x]$ tout entier : $D$ est surjective, ce qui se comprend — tout polynôme de degré au plus $1$ admet une primitive de degré au plus $2$ .

Le noyau. Par le théorème du rang, $dim ker (D) = dim (R_{2} [x]) - rg (D) = 3 - 2 = 1.$ On le retrouve directement : $P^{'} = 0$ équivaut à $P$ constant, et l'ensemble des polynômes constants est $Vect (1)$ , de dimension $1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.