Le noyau d'une forme linéaire

Linéarité. L'expression $x+y+z$ est une combinaison linéaire des coordonnées, sans terme constant : $f$ est linéaire.

Le noyau. $(x,y,z)\in \ker (f)$ équivaut à $x+y+z=0$, soit $x=-y-z$. Les paramètres libres sont $y$ et $z$, et $$(x,y,z)=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1).$$ Donc $\ker (f)=\mathrm{Vect}((-1,1,0),(-1,0,1))$.

Une base. Ces deux vecteurs forment une famille libre : si $y(-1,1,0)+z(-1,0,1)=(0,0,0)$, la deuxième coordonnée donne $y=0$ et la troisième $z=0$. C'est donc une base et $\dim \ker (f)=2$.

Le rang. $\mathrm{Im}(f)$ est un sous-espace de $\mathbb{R}$, donc de dimension $0$ ou $1$. Comme $f(1,0,0)=1\ne 0$, l'image n'est pas réduite à $\{0\}$ : $\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}$ et $\mathrm{rg}(f)=1$. L'application est surjective.

Vérification du théorème du rang. $$\dim \ker (f)+\mathrm{rg}(f)=2+1=3=\dim ({\mathbb{R}}^3).$$ C'est bien la dimension de l'espace de départ — jamais celle de l'espace d'arrivée, qui vaut ici $1$.