Le rang d'une matrice à paramètre

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Rang et théorème du rang

Énoncé

Soit $m \in R$ et $f_{m} : R^{3} \to R^{3}$ de matrice

$A_{m} = 111 1 m 1 11 m .$

Déterminer, selon $m$ , le rang de $f_{m}$ et la dimension de son noyau.

Corrigé

On échelonne :

$A_{m} L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100 1 m - 1 0 10 m - 1 .$

Si $m \neq = 1$ : trois pivots, $rg (f_{m}) = 3$ , donc $dim ker (f_{m}) = 0$ et $f_{m}$ est un automorphisme.

Si $m = 1$ : la matrice devient celle dont toutes les lignes valent $(1, 1, 1)$ , de rang $1$ . Alors $rg (f_{1}) = 1$ et, par le théorème du rang, $dim ker (f_{1}) = 3 - 1 = 2$ .

Le noyau pour $m = 1$ . $f_{1} (x, y, z) = (x + y + z) (1, 1, 1)$ , donc $ker (f_{1}) = {x + y + z = 0}$ : c'est bien un plan, de dimension $2$ .

Remarque. Le rang saute de $3$ à $1$ sans passer par $2$ : les deux pivots s'annulent pour la même valeur de $m$ .

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