Le théorème du rang, en trois lectures

(a) Le théorème du rang s'écrit $\dim ({\mathbb{R}}^5)=\dim \ker (f)+\mathrm{rg}(f)$, c'est-à-dire $5=\dim \ker (f)+3$. Donc $$\dim \ker (f)=2.$$ Au passage, $\mathrm{rg}(f)=3=\dim ({\mathbb{R}}^3)$ : l'image est ${\mathbb{R}}^3$ tout entier, $f$ est surjective — mais pas injective, son noyau étant de dimension $2$.

(b) Oui. $g$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie ; le corollaire du théorème du rang affirme qu'alors injectif, surjectif et bijectif sont équivalents. Le détail : $g$ injective donne $\dim \ker (g)=0$, donc $\mathrm{rg}(g)=4-0=4$, donc $\mathrm{Im}(g)$ est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^4$ de dimension $4$, c'est-à-dire ${\mathbb{R}}^4$ tout entier. $g$ est surjective, donc bijective.

(c) Non. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(h)=2-\dim \ker (h)⩽2$. Or être surjective exigerait $\mathrm{rg}(h)=\dim ({\mathbb{R}}^5)=5$. C'est impossible.

Ce que ces trois cas montrent. Une application linéaire ne peut pas « augmenter la dimension » : le rang est majoré par la dimension de départ. L'équivalence entre injectivité et surjectivité, elle, n'a lieu que si les deux espaces ont la même dimension.