Linéaire ou non ?

$f$ : oui. Pour $\lambda ,\mu$ réels et $(x,y)$, $(x^{\prime },y^{\prime })$ dans ${\mathbb{R}}^2$ : $f(\lambda (x,y)+\mu (x^{\prime },y^{\prime }))=3(\lambda x+\mu x^{\prime })-(\lambda y+\mu y^{\prime })=\lambda (3x-y)+\mu (3x^{\prime }-y^{\prime })$.

$g$ : non. $g(1,1)=1$ mais $g(2\cdot (1,1))=g(2,2)=4\ne 2g(1,1)$. L'homogénéité est en défaut : un produit de deux coordonnées n'est jamais linéaire.

$h$ : non. $h(0,0)=1\ne 0$. Une ligne suffit.

La méthode. Tester $f(0)=0$ d'abord ; puis se méfier de tout produit ou carré de coordonnées.