Linéaire ou non ?

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Linéarité, noyau et image

Énoncé

Les applications suivantes de $R^{2}$ dans $R$ sont-elles linéaires ? $f (x, y) = 3 x - y$ , $g (x, y) = x y$ , $h (x, y) = 2 x + 1$ .

Corrigé

$f$ : oui. Pour $λ, μ$ réels et $(x, y)$ , $(x^{'}, y^{'})$ dans $R^{2}$ : $f (λ (x, y) + μ (x^{'}, y^{'})) = 3 (λ x + μ x^{'}) - (λ y + μ y^{'}) = λ (3 x - y) + μ (3 x^{'} - y^{'})$ .

$g$ : non. $g (1, 1) = 1$ mais $g (2 \cdot (1, 1)) = g (2, 2) = 4 \neq = 2 g (1, 1)$ . L'homogénéité est en défaut : un produit de deux coordonnées n'est jamais linéaire.

$h$ : non. $h (0, 0) = 1 \neq = 0$ . Une ligne suffit.

La méthode. Tester $f (0) = 0$ d'abord ; puis se méfier de tout produit ou carré de coordonnées.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.