Multiplier à gauche par une matrice

Linéarité. Pour $M,M^{\prime }$ dans ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$ et $\lambda ,\mu$ réels, la distributivité du produit matriciel donne $$\Phi (\lambda M+\mu M^{\prime })=A(\lambda M+\mu M^{\prime })=\lambda AM+\mu A{M}^{\prime }=\lambda \Phi (M)+\mu \Phi (M^{\prime }).$$

Le calcul de $\Phi (M)$. Posons $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Alors $$AM=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ a+c& b+d\end{array}\right).$$ Les deux lignes du produit sont identiques : c'est la conséquence des deux lignes égales de $A$.

Le noyau. $\Phi (M)=0$ équivaut à $a+c=0$ et $b+d=0$, soit $c=-a$ et $d=-b$. Donc $$\ker (\Phi )=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -a& -b\end{array}\right)\right\}=\mathrm{Vect}\left(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\right).$$ Ces deux matrices forment une famille libre : si $a{N}_1+b{N}_2=0$, le coefficient en haut à gauche donne $a=0$ et celui en haut à droite $b=0$. Donc $\dim \ker (\Phi )=2$.

Le rang. Par le théorème du rang appliqué à l'espace de départ ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$, de dimension $4$ : $$\mathrm{rg}(\Phi )=4-2=2.$$ On le confirme sur l'image : $\Phi (M)$ a ses deux lignes égales, donc $\mathrm{Im}(\Phi )\subset \mathrm{Vect}(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right))$, sous-espace de dimension $2$, et les deux inclusions de dimensions égales donnent l'égalité.