Noyau, image, rang

Noyau. $f(x,y,z)=(0,0)$ équivaut à $x+y=0$ et $x+y+z=0$, donc $z=0$ et $y=-x$. Ainsi $\ker (f)=\{(x,-x,0)\}=\mathrm{Vect}((1,-1,0))$, de dimension $1$.

Image. $f(1,0,0)=(1,1)$ et $f(0,0,1)=(0,1)$ : ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels, donc $\mathrm{Im}(f)$ contient un plan de ${\mathbb{R}}^2$, c'est donc ${\mathbb{R}}^2$ tout entier. $\mathrm{rg}(f)=2$ et $f$ est surjective.

Théorème du rang. $\dim \ker (f)+\mathrm{rg}(f)=1+2=3=\dim {\mathbb{R}}^3$.