Noyau, image, rang

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Linéarité, noyau et image

Énoncé

Soit $f : R^{3} \to R^{2}$ , $(x, y, z) \mapsto (x + y, x + y + z)$ . Déterminer $ker (f)$ , $Im (f)$ , et vérifier le théorème du rang.

Corrigé

Noyau. $f (x, y, z) = (0, 0)$ équivaut à $x + y = 0$ et $x + y + z = 0$ , donc $z = 0$ et $y = - x$ . Ainsi $ker (f) = {(x, - x, 0)} = Vect ((1, - 1, 0))$ , de dimension $1$ .

Image. $f (1, 0, 0) = (1, 1)$ et $f (0, 0, 1) = (0, 1)$ : ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels, donc $Im (f)$ contient un plan de $R^{2}$ , c'est donc $R^{2}$ tout entier. $rg (f) = 2$ et $f$ est surjective.

Théorème du rang. $dim ker (f) + rg (f) = 1 + 2 = 3 = dim R^{3}$ .

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