Un endomorphisme de polynômes

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Matrice d’une application linéaire

Énoncé

Soit $Φ : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ , $P \mapsto P - P^{'}$ . Écrire sa matrice dans la base canonique, déterminer son noyau, et dire si $Φ$ est un automorphisme.

Corrigé

La matrice. $Φ (1) = 1$ , $Φ (x) = x - 1$ , $Φ (x^{2}) = x^{2} - 2 x$ . En colonnes dans $(1, x, x^{2})$ :

$M = 100 - 1 10 0 - 2 1 .$

Noyau. On résout $M X = 0$ . Le système est triangulaire, on le remonte de bas en haut : la troisième ligne donne $x_{3} = 0$ , la deuxième $x_{2} - 2 x_{3} = 0$ donc $x_{2} = 0$ , la première $x_{1} - x_{2} = 0$ donc $x_{1} = 0$ . Ainsi $ker (Φ) = {0}$ et $Φ$ est injective.

(Le déterminant d'ordre $3$ n'est pas au programme : seul celui d'ordre $2$ l'est. La remontée d'un système triangulaire, elle, ne coûte que trois lignes.)

Automorphisme. $R_{2} [x]$ est de dimension finie et $Φ$ va de cet espace dans lui-même : injective implique bijective. $Φ$ est un automorphisme.

Autre lecture. $Φ (P) = 0$ signifie $P = P^{'}$ . Si $P$ était non nul de degré $d$ , alors $P^{'}$ serait de degré $d - 1 < d$ : impossible. Seul le polynôme nul convient.

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