Un noyau de dimension un

Linéarité. Chaque coordonnée de l'image est une combinaison linéaire des coordonnées de départ, sans terme constant. Précisément, pour $u=(x,y,z,t)$, $u^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ et $\lambda ,\mu$ réels, la première coordonnée de $f(\lambda u+\mu u^{\prime })$ vaut $(\lambda x+\mu x^{\prime })+(\lambda y+\mu y^{\prime })=\lambda (x+y)+\mu (x^{\prime }+y^{\prime })$, et de même pour les deux autres. Donc $f(\lambda u+\mu u^{\prime })=\lambda f(u)+\mu f(u^{\prime })$.

Le noyau. $u\in \ker (f)$ équivaut au système homogène $$x+y=0,y+z=0,z+t=0.$$ De proche en proche : $y=-x$, puis $z=-y=x$, puis $t=-z=-x$. Le paramètre $x$ reste libre, et $$\ker (f)=\{x(1,-1,1,-1)\mid x\in \mathbb{R}\}=\mathrm{Vect}((1,-1,1,-1)).$$ Ce vecteur est non nul, donc $\dim \ker (f)=1$.

Le rang. Le théorème du rang donne $\mathrm{rg}(f)=\dim ({\mathbb{R}}^4)-\dim \ker (f)=4-1=3$.

Injectivité et surjectivité. $\ker (f)\ne \{0\}$ : $f$ n'est pas injective — le vecteur $(1,-1,1,-1)$ est un antécédent de $0$ autre que $0$. En revanche $\mathrm{Im}(f)$ est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $3$, c'est donc ${\mathbb{R}}^3$ tout entier : $f$ est surjective.

Le point délicat. On n'a jamais eu à décrire $\mathrm{Im}(f)$ : le théorème du rang en donne la dimension à partir du seul noyau, et en dimension $3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ la conclusion est immédiate.