Un polynôme reconstitué à partir de trois valeurs

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Matrice d'une application linéaire

Énoncé

Soit $Ψ : R_{2} [x] \to R^{3}$ , $P \mapsto (P (0), P (1), P (2))$ . Écrire la matrice de $Ψ$ dans les bases canoniques, puis montrer que $Ψ$ est bijective.

Corrigé

Linéarité. L'évaluation en un point est linéaire : $(λ P + μ Q) (t) = λ P (t) + μ Q (t)$ . Les trois coordonnées de $Ψ$ le sont donc, et $Ψ$ aussi.

La matrice. On calcule l'image de chaque vecteur de la base canonique $(1, x, x^{2})$ de $R_{2} [x]$ : $Ψ (1) = (1, 1, 1), Ψ (x) = (0, 1, 2), Ψ (x^{2}) = (0, 1, 4) .$ Ces images, rangées en colonnes, donnent $Mat (Ψ) = 111012014 .$

Bijectivité. Les deux espaces ont la même dimension $3$ ; d'après le corollaire du théorème du rang, il suffit de prouver l'injectivité.

Soit $P = a + b x + c x^{2}$ dans le noyau. Alors $P (0) = a = 0, P (1) = a + b + c = 0, P (2) = a + 2 b + 4 c = 0.$ La première donne $a = 0$ ; la deuxième devient $b + c = 0$ , soit $b = - c$ ; la troisième devient $2 b + 4 c = 0$ , soit $- 2 c + 4 c = 2 c = 0$ , donc $c = 0$ puis $b = 0$ . Le noyau est réduit au polynôme nul, $Ψ$ est injective, donc bijective.

Lecture du résultat. Dire que $Ψ$ est bijective, c'est dire qu'un polynôme de degré au plus $2$ est entièrement déterminé par ses valeurs en trois points distincts, et que tout triplet de valeurs est atteint par un tel polynôme. Un troisième point était nécessaire : avec seulement $P (0)$ et $P (1)$ , l'application n'aurait pas été injective.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.