Une application donnée par ses valeurs sur une base

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Matrice d’une application linéaire

Énoncé

Soit $f$ l'unique application linéaire de $R^{3}$ dans $R^{2}$ telle que $f (1, 0, 0) = (1, 2)$ , $f (1, 1, 0) = (0, 1)$ et $f (1, 1, 1) = (1, 1)$ . Écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques, puis déterminer $ker (f)$ .

Corrigé

Les images de la base canonique. La matrice réclame $f (e_{1})$ , $f (e_{2})$ , $f (e_{3})$ ; on ne dispose que de trois autres valeurs. Or $e_{2} = (1, 1, 0) - (1, 0, 0)$ et $e_{3} = (1, 1, 1) - (1, 1, 0)$ , donc par linéarité :

$f (e_{1}) = (1, 2), f (e_{2}) = (0, 1) - (1, 2) = (- 1, - 1), f (e_{3}) = (1, 1) - (0, 1) = (1, 0) .$

La matrice, ces images rangées en colonnes :

$A = (12 - 1 - 1 10) .$

Noyau. $A X = 0$ s'écrit $x - y + z = 0$ et $2 x - y = 0$ . La seconde donne $y = 2 x$ ; en reportant dans la première, $x - 2 x + z = 0$ , donc $z = x$ . Ainsi

$ker (f) = {(x, 2 x, x)} = Vect ((1, 2, 1)), dim ker (f) = 1.$

Vérification. $A^{t} (1, 2, 1) = (1 - 2 + 1, 2 - 2 + 0) = (0, 0)$ . C'est bien dans le noyau.

Conséquence. Par le théorème du rang, $rg (f) = 3 - 1 = 2 = dim R^{2}$ : $f$ est surjective, sans calculer son image.

Le point à retenir. Une application linéaire est déterminée par les images d'une base, pas nécessairement la canonique — tout le travail consiste à réexprimer la base canonique dans celle qu'on vous donne.

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