Une application donnée par ses valeurs sur une base

Les images de la base canonique. La matrice réclame $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ ; on ne dispose que de trois autres valeurs. Or $e_2=(1,1,0)-(1,0,0)$ et $e_3=(1,1,1)-(1,1,0)$, donc par linéarité :

$$f(e_1)=(1,2),f(e_2)=(0,1)-(1,2)=(-1,-1),f(e_3)=(1,1)-(0,1)=(1,0).$$

La matrice, ces images rangées en colonnes :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -1& 0\end{array}\right).$$

Noyau. $AX=0$ s'écrit $x-y+z=0$ et $2x-y=0$. La seconde donne $y=2x$ ; en reportant dans la première, $x-2x+z=0$, donc $z=x$. Ainsi

$$\ker (f)=\{(x,2x,x)\}=\mathrm{Vect}((1,2,1)),\dim \ker (f)=1.$$

Vérification. $A{}^t(1,2,1)=(1-2+1,2-2+0)=(0,0)$. C'est bien dans le noyau.

Conséquence. Par le théorème du rang, $\mathrm{rg}(f)=3-1=2=\dim {\mathbb{R}}^2$ : $f$ est surjective, sans calculer son image.

Le point à retenir. Une application linéaire est déterminée par les images d'une base, pas nécessairement la canonique — tout le travail consiste à réexprimer la base canonique dans celle qu'on vous donne.