Une base dans laquelle la matrice devient diagonale

La matrice de passage. Ses colonnes sont les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ écrits dans la base canonique : $$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$ Son déterminant vaut $2\times 1-1\times 1=1\ne 0$ : $P$ est inversible, donc ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base. L'inverse d'une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de déterminant $\Delta$ étant $\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, on obtient $$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right).$$

Le produit. Calculons d'abord $AP$ : $$AP=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8-2& 4-2\\ 2+1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 2\end{array}\right),$$ puis $$P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-3& 2-2\\ -6+6& -2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Lecture du résultat. La matrice obtenue est diagonale, ce qui se relit directement sur les images : $f(2,1)=(8-2,2+1)=(6,3)=3\cdot (2,1)$ et $f(1,1)=(4-2,1+1)=(2,2)=2\cdot (1,1)$. Chaque vecteur de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est simplement multiplié par un nombre, et ces nombres sont les coefficients diagonaux.

Contrôle. $A$ et ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)$ sont semblables, elles doivent avoir le même rang : la première est de rang $2$ (déterminant $4-(-2)=6\ne 0$), la seconde aussi. C'est cohérent.