Une image calculée sur une base

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 — Applications linéaires, matrices et changement de base · Linéarité, noyau et image

Énoncé

Soit $f : R^{3} \to R^{2}$ linéaire telle que $f (e_{1}) = (1, 2)$ , $f (e_{2}) = (0, - 1)$ et $f (e_{3}) = (3, 0)$ , où $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est la base canonique de $R^{3}$ . Calculer $f (2, - 1, 4)$ et $f (0, 0, 0)$ .

Corrigé

Le principe. Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base : si $u = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3}$ , alors $f (u) = x_{1} f (e_{1}) + x_{2} f (e_{2}) + x_{3} f (e_{3}) .$ C'est la propriété fondamentale de la linéarité, étendue à trois termes.

Le calcul. Le vecteur $(2, - 1, 4)$ s'écrit $2 e_{1} - e_{2} + 4 e_{3}$ , donc $f (2, - 1, 4) = 2 (1, 2) - 1 (0, - 1) + 4 (3, 0) .$ Coordonnée par coordonnée :

première : $2 \times 1 - 1 \times 0 + 4 \times 3 = 2 + 0 + 12 = 14$ ;
seconde : $2 \times 2 - 1 \times (- 1) + 4 \times 0 = 4 + 1 + 0 = 5$ .

Donc $f (2, - 1, 4) = (14, 5)$ .

L'image du vecteur nul. Toute application linéaire vérifie $f (0_{E}) = 0_{F}$ : en effet $f (0_{E}) = f (0 \cdot 0_{E}) = 0 \cdot f (0_{E}) = 0_{F}$ . Donc $f (0, 0, 0) = (0, 0)$ — et l'on retrouve le même résultat par le calcul direct, tous les coefficients étant nuls.

Remarque. Les trois images données ne sont soumises à aucune contrainte : n'importe quel choix de $f (e_{1}), f (e_{2}), f (e_{3})$ définit une application linéaire, et une seule.

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