Une matrice à écrire dans les bases canoniques

La taille, d'abord. L'espace de départ est de dimension $3$, l'espace d'arrivée de dimension $2$. La matrice a donc autant de colonnes que la dimension de départ et autant de lignes que celle d'arrivée : elle appartient à ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$. Se tromper de sens est l'erreur la plus fréquente ; la règle se retient par la formule $Y=AX$, où $X$ a $3$ entrées et $Y$ en a $2$.

Les colonnes. La $j$-ème colonne est la colonne des coordonnées de l'image du $j$-ème vecteur de la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ : $$f(1,0,0)=(1,0),f(0,1,0)=(0,2),f(0,0,1)=(-1,0).$$

La matrice. $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 0\end{array}\right).$$

Vérification. Pour $X={}^t(x,y,z)$, $$AX=\left(\begin{array}{c}x+0-z\\ 0+2y+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-z\\ 2y\end{array}\right),$$ ce qui est bien $f(x,y,z)$ écrit en colonne. Le contrôle coûte deux lignes et attrape toute transposition accidentelle.