mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice

Une matrice à écrire

Applications linéaires, matrices et changement de base · Matrice d’une application linéaire · ★ niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$, $(x,y,z)\mapsto (2x-z,y+3z)$. Écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques, puis calculer $f(1,2,-1)$ de deux façons.

Corrigé

La matrice. $f(e_1)=(2,0)$, $f(e_2)=(0,1)$, $f(e_3)=(-1,3)$. En colonnes :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 3\end{array}\right).$$

Directement. $f(1,2,-1)=(2\cdot 1-(-1),2+3\cdot (-1))=(3,-1)$.

Par la matrice. $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+0+1\\ 0+2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$. Les deux calculs coïncident.