Une matrice de passage et son inverse

La matrice de passage. Ses colonnes sont les nouveaux vecteurs écrits à l'ancienne, c'est-à-dire les coordonnées des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ dans la base canonique : $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$ (Au passage, ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est bien une base : la matrice est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux non nuls, donc de rang $3$.)

L'inverse. Résolvons $PY=X$, c'est-à-dire $y_1=x_1$, $y_1+y_2=x_2$, $y_2+y_3=x_3$. De proche en proche : $$y_1=x_1,y_2=x_2-x_1,y_3=x_3-y_2=x_3-x_2+x_1.$$ Ces relations sont exactement les lignes de $P^{-1}$ : $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right).$$ Vérification de la troisième ligne du produit $P^{-1}P$ : $(1,-1,1)$ contre les colonnes de $P$ donne $1-1+0=0$, puis $0-1+1=0$, puis $0-0+1=1$. C'est bien la ligne $(0,0,1)$ attendue.

Les coordonnées de $u$. La formule du cours est $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$, donc $X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}{X}_{\mathcal{B}}$ avec $X_{\mathcal{B}}={}^t(2,3,4)$ : $$X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}={}^t(2,3-2,4-3+2)={}^t(2,1,3).$$

Vérification — elle coûte une ligne : $2(1,1,0)+1(0,1,1)+3(0,0,1)=(2,3,4)=u$.