Une matrice de rang 1

Rang. La deuxième ligne est le double de la première : $\mathrm{rg}(f)=1$, donc $\dim \ker (f)=1$.

Noyau. $x+2y=0$ donne $\ker (f)=\mathrm{Vect}((2,-1))$ — on vérifie : $A\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-2\\ 4-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$.

Image. Les colonnes sont $(1,2)$ et $(2,4)$, proportionnelles : $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}((1,2))$.

La base cherchée. Prenons $v_1=(1,2)$, qui engendre l'image, et $v_2=(2,-1)$, qui engendre le noyau. Alors

$$f(v_1)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)=5v_1,f(v_2)=0=0\cdot v_1+0\cdot v_2.$$

Dans ${\mathcal{B}}^{\prime }=(v_1,v_2)$, la matrice de $f$ est donc bien $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Contrôle par la somme des coefficients diagonaux. Celle de $A$ vaut $1+4=5$, celle de la matrice diagonale $5+0=5$. Cohérent — et c'est déjà, sans le nom, un exemple de diagonalisation.