Une matrice qu'aucune base ne rend diagonale

Le calcul préliminaire. $$A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),(A-I_2{)}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Raisonnement par l'absurde. Supposons qu'il existe une matrice diagonale $D=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$ et une matrice inversible $P$ telles que $A=PD{P}^{-1}$.

Première étape : transporter la relation à $A-I_2$. Comme $I_2=P{I}_2{P}^{-1}$, $$A-I_2=PD{P}^{-1}-P{I}_2{P}^{-1}=P(D-I_2)P^{-1}.$$

Deuxième étape : élever au carré. Les facteurs $P^{-1}P$ se simplifient au milieu : $$(A-I_2{)}^2=P(D-I_2)P^{-1}P(D-I_2)P^{-1}=P(D-I_2{)}^2{P}^{-1}.$$ Or $(A-I_2{)}^2=0$, donc $P(D-I_2{)}^2{P}^{-1}=0$, et en multipliant à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $P$ : $(D-I_2{)}^2=0$.

Troisième étape : conclure sur $D$. La matrice $D-I_2$ est diagonale, de coefficients $\alpha -1$ et $\beta -1$ ; son carré est la matrice diagonale de coefficients $(\alpha -1{)}^2$ et $(\beta -1{)}^2$. La nullité de ce carré impose $(\alpha -1{)}^2=0$ et $(\beta -1{)}^2=0$, donc $\alpha =\beta =1$ et $D=I_2$.

Contradiction. On aurait alors $A=P{I}_2{P}^{-1}=I_2$, ce qui est faux puisque le coefficient en haut à droite de $A$ vaut $1$ et non $0$.

Conclusion. Aucune matrice diagonale n'est semblable à $A$ : ce que le chapitre 3 appellera « $A$ n'est pas diagonalisable ». Le levier a été le carré nul de $A-I_2$, propriété que la similitude transporte intacte.