Conclure sans diagonaliser

$A$ : oui, parce qu'elle est symétrique. On vérifie $a_{1,2}=a_{2,1}=1$, $a_{2,3}=a_{3,2}=1$ et $a_{1,3}=a_{3,1}=0$. Le cours admet que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. On conclut sans connaître une seule valeur propre — c'est tout l'intérêt du critère.

$B$ : oui, parce qu'elle a deux valeurs propres distinctes. $B$ est triangulaire supérieure, donc $\mathrm{Sp}(B)=\{1,5\}$, ses coefficients diagonaux. Deux valeurs propres distinctes pour une matrice d'ordre $2$ : le premier critère du cours s'applique, $B$ est diagonalisable. Les deux vecteurs propres associés forment une famille libre, donc une base de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$.

$C$ : non, et le critère ne tranche pas — il faut calculer. $C$ est triangulaire, donc $\mathrm{Sp}(C)=\{3\}$ : une seule valeur propre, le premier critère est muet, et $C$ n'est pas symétrique. Examinons : $$C-3I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$ et $(C-3I_2)X=0$ équivaut à $y=0$ : $E_3=\mathrm{Vect}{}^t(1,0)$, de dimension $1$. Il n'y a qu'une direction propre, on ne peut pas fabriquer une base de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ avec des vecteurs propres : $C$ n'est pas diagonalisable.

Ce qu'il faut retenir. Les deux critères du cours sont suffisants, jamais nécessaires : leur échec ne prouve rien. Devant $C$, seule l'étude du sous-espace propre a conclu.