Deux vecteurs propres à tester

Premier test. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\times 1+1\times 1\\ 1\times 1+3\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ La colonne ${}^t(1,1)$ est non nulle et son image est un multiple d'elle-même : c'est un vecteur propre, associé à la valeur propre $\lambda =4$.

Second test. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-1\\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$ Vecteur propre associé à $\lambda =2$.

Diagonalisable. Les deux valeurs propres $4$ et $2$ sont distinctes, et une matrice d'ordre $2$ ayant $2$ valeurs propres distinctes est diagonalisable. On peut aussi le dire autrement : les deux vecteurs propres ne sont pas proportionnels, ils forment donc une famille libre de $2$ vecteurs dans ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, c'est-à-dire une base de vecteurs propres.

On a alors $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right),$$ l'ordre des colonnes de $P$ et celui des coefficients de $D$ devant se correspondre.

Remarque. $A$ est symétrique : le cours garantissait sa diagonalisabilité avant tout calcul.