Diagonalisable ou non ?

Spectre. $A$ est triangulaire inférieure : $\mathrm{Sp}(A)=\{1,2\}$.

$E_1(A)$. $(A-I_3)X=0$ s'écrit $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)X=0$, soit $y=0$ et $x=0$. Donc $E_1(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, de dimension $1$.

$E_2(A)$. $(A-2I_3)X=0$ s'écrit $\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)X=0$, soit $x=0$ et $x-z=0$, donc $x=z=0$. Ainsi $E_2(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, de dimension $1$.

Conclusion. $\dim E_1+\dim E_2=1+1=2<3$. On ne peut réunir que deux vecteurs propres indépendants, jamais trois : $A$ n'est pas diagonalisable.

Le critère à retenir, dans les termes du programme : $A$ est diagonalisable lorsqu'il existe une base de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$ — ce sont alors les colonnes de $P$. Ici, en concaténant une base de $E_1(A)$ et une base de $E_2(A)$, on obtient une famille libre de deux colonnes seulement : jamais les trois qu'exigerait une base de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.