Diagonaliser, puis élever à la puissance

Diagonalisable, d'un coup d'œil. $A$ est symétrique ($a_{1,2}=a_{2,1}=-2$), et le cours admet que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Aucun calcul n'est nécessaire pour l'affirmer.

Le spectre. $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si son déterminant d'ordre $2$ est nul : $$(5-\lambda )(2-\lambda )-(-2)(-2)={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)=0.$$ Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{1,6\}$.

Les vecteurs propres. Pour $\lambda =1$ : $(A-I_2)X=0$ donne $4x-2y=0$, soit $y=2x$ ; un vecteur propre est ${}^t(1,2)$. Pour $\lambda =6$ : $-x-2y=0$, soit $x=-2y$ ; un vecteur propre est ${}^t(2,-1)$.

La diagonalisation. En rangeant ces vecteurs en colonnes, dans le même ordre que les valeurs propres : $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 6\end{array}\right).$$ Le déterminant de $P$ vaut $-1-4=-5\ne 0$, donc $P^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$. Vérification : $AP=\left(\begin{array}{cc}1& 12\\ 2& -6\end{array}\right)=PD$.

Les puissances. $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\mathrm{diag}(1,6^n)$ : $$A^n=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 2\cdot 6^n\\ 2& -6^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1+4\cdot 6^n& 2-2\cdot 6^n\\ 2-2\cdot 6^n& 4+6^n\end{array}\right).$$ Contrôle : pour $n=0$ on trouve $\frac{1}{5}\mathrm{diag}(5,5)=I_2$, et pour $n=1$, $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}25& -10\\ -10& 10\end{array}\right)=A$.