Diagonaliser une matrice $2\times 2$

Diagonalisable ? $A$ est symétrique : oui, par le théorème du cours.

Valeurs propres. On remarque que $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{3,-1\}$ : deux valeurs distinctes en dimension $2$.

Diagonalisation.

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right),P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

On vérifie $AP=PD=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 3& 1\end{array}\right)$.

Puissances. $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ donne

$$A^n=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n+(-1{)}^n& 3^n-(-1{)}^n\\ 3^n-(-1{)}^n& 3^n+(-1{)}^n\end{array}\right).$$

Contrôle pour $n=1$ : $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=A$.