La matrice de tous les uns

Diagonalisable. $J$ est symétrique : le cours l'admet.

Éléments propres. Les trois lignes de $J$ sont égales : $\mathrm{rg}(J)=1$, donc $\dim \ker (J)=3-1=2$. Autrement dit $0$ est valeur propre et

$$E_0(J)=\{x+y+z=0\}=\mathrm{Vect}({}^t(1,-1,0),{}^t(1,0,-1)).$$

Par ailleurs $J{}^t(1,1,1)={}^t(3,3,3)=3{}^t(1,1,1)$ : $3$ est valeur propre. Les dimensions se totalisent : $2+1=3$, donc $\mathrm{Sp}(J)=\{0,3\}$ et $J$ est semblable à $D=\mathrm{diag}(3,0,0)$.

Les puissances. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de $J^2$ est la somme des trois produits $1\times 1$, donc vaut $3$ : $J^2=3J$. Une récurrence immédiate donne alors, pour $n⩾1$,

$$J^n=3^{n-1}J.$$

En effet, si $J^n=3^{n-1}J$, alors $J^{n+1}=3^{n-1}{J}^2=3^{n-1}\cdot 3J=3^{n}J$.

Contrôles. Pour $n=1$ : $3^{0}J=J$. Pour $n=2$ : $3J$, dont tous les coefficients valent $3$ — ce qu'un produit direct confirme.

Le point à retenir. Une matrice de rang $1$ vérifie toujours $A^2=cA$ pour un réel $c$, et ses puissances ne coûtent alors rien. Ici $c=3$ est aussi la seule valeur propre non nulle — ce n'est pas un hasard : c'est le facteur de la seule direction que $J$ n'écrase pas.