La somme des coefficients diagonaux

Ni déterminant d'ordre $3$, ni polynôme caractéristique : ni l'un ni l'autre n'est au programme. La démonstration se fait donc à la main, sur un produit de trois matrices $2\times 2$.

Le calcul. Écrivons $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ et $P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ inversible, de déterminant $\Delta =ps-qr\ne 0$, de sorte que $P^{-1}=\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$. Alors $PD=\left(\begin{array}{cc}p{\lambda }_1& q{\lambda }_2\\ r{\lambda }_1& s{\lambda }_2\end{array}\right)$, et les deux coefficients diagonaux de $A=(PD)P^{-1}$ valent

$$a=\frac{ps{\lambda }_1-qr{\lambda }_2}{\Delta },d=\frac{ps{\lambda }_2-qr{\lambda }_1}{\Delta }.$$

En les ajoutant, ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ se regroupent :

$$a+d=\frac{(ps-qr)({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\Delta }=\frac{\Delta ({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\Delta }={\lambda }_1+{\lambda }_2.$$

Le déterminant de $P$ se simplifie : la somme des coefficients diagonaux ne dépend pas de la base choisie.

Application. Pour $B$, cette somme vaut $7+1=8$. Si $3$ est valeur propre, l'autre vaut $8-3=5$.

Vérification. $(B-5I_2)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 4& -4\end{array}\right)$, dont la seconde ligne est le double de la première : le rang vaut $1<2$, donc $5$ est bien valeur propre. Un vecteur propre : $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$, et en effet $B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)$. Deux valeurs propres distinctes : $B$ est bien diagonalisable, comme le supposait la première question.