La vérification à ne jamais sauter

Le membre de gauche. $$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+1& 2-1\\ 1+2& 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& -1\end{array}\right).$$

Le membre de droite. Multiplier à droite par une matrice diagonale multiplie la colonne $j$ par le $j$-ème coefficient diagonal : la première colonne de $P$ est multipliée par $3$, la seconde par $1$. $$PD=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& -1\end{array}\right).$$ Les deux matrices coïncident : $AP=PD$.

Pourquoi cela équivaut à $P^{-1}AP=D$. Le déterminant de $P$ vaut $1\times (-1)-1\times 1=-2\ne 0$, donc $P$ est inversible. En multipliant $AP=PD$ à gauche par $P^{-1}$ : $$P^{-1}AP=P^{-1}PD=I_{2}D=D.$$ Réciproquement, en multipliant $P^{-1}AP=D$ à gauche par $P$, on retrouve $AP=PD$. Les deux écritures disent la même chose.

Pourquoi préférer $AP=PD$. Elle ne demande aucune inversion : deux produits suffisent, et l'égalité coefficient par coefficient attrape aussitôt une colonne mal ordonnée. C'est la vérification à faire systématiquement après une diagonalisation.

Lecture. Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres de $A$, pour $3$ et pour $1$ respectivement.